01背包解题报告
有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。
第 i 件物品的体积是 $v_{i}$,价值是$w_{i}$。
求解将哪些物品装入背包,可使这些物品的总体积不超过背包容量,且总价值最大。
输出最大价值
样例
输入样例:
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出样例:
8
算法1
(二维数组 + DP) $O(n^2)$
- f[i][j] 选前i个物品,背包容量为j,的最大价值。
- v[i]第i个物品的体积, w[i]第i个物品的价值(权重)
1) 背包容量不够(j < v[i]),最优解为前i-1个物品的最优解 f[i][j] = f[i-1][j]
2) 背包容量够的时候(j >= v[i]), f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j-v[i]] + w[i]); (不选第i个物品的最大价值, 选的i个物品的最大价值)
f[i-1][j-v[i]] + w[i] 的理解:由于需要求已经选择第i个物品的最大价值,所以把所有物品都去掉第i个物品,即f[i-1][j-v[i]](选所有前i-1个物品,背包容量去掉第i个物品,的最大价值),然后再加上第i个物品的价值w[i],即可得到选择第i个物品的最大价值
时间复杂度
O($n*m$)
C++ 代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N][N];
int main() {
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i];
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 0; j <= m; j++) {
f[i][j] = f[i-1][j]; // 无论装不装的下,都是一个策略
if (j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i-1][j-v[i]] + w[i]); // 如何可以装下,要看选不选第i个物品
}
}
cout << f[n][m] << endl;
return 0;
}
算法2
(一维数组 + DP) $O(n^2)$
f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i] , 从后往前
C++ 代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N];
int main() {
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i];
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = m; j >= v[i]; j--) {
f[j] = max(f[j], f[j-v[i]] + w[i]);
}
}
cout << f[m] << endl;
return 0;
}