题目描述

https://www.acwing.com/problem/content/description/3179/
小明公司的办公区有一条长长的走廊，由 N 个方格区域组成，如下图所示。(打开原题链接看图)

走廊内部署了 K 台扫地机器人，其中第 i 台在第 Ai 个方格区域中。

已知扫地机器人每分钟可以移动到左右相邻的方格中，并将该区域清扫干净。

请你编写一个程序，计算每台机器人的清扫路线，使得

它们最终都返回出发方格，
每个方格区域都至少被清扫一遍，
从机器人开始行动到最后一台机器人归位花费的时间最少。
注意多台机器人可以同时清扫同一方块区域，它们不会互相影响。

输出最少花费的时间。

在上图所示的例子中，最少花费时间是 6。

第一台路线：2−1−2−3−4−3−2，清扫了 1、2、3、4 号区域。

第二台路线 5−6−7−6−5，清扫了 5、6、7。

第三台路线 10−9−8−9−10，清扫了 8、9 和 10。

输入格式
第一行包含两个整数 N 和 K。

接下来 K 行，每行一个整数 Ai。

输出格式
输出一个整数表示答案。

数据范围
1≤K<N≤105,
1≤Ai≤N
输入样例：
10 3
5
2
10

样例

输入样例：
10 3
5
2
10

样例输出：
6

算法1

(结果二分) $O(NlogN)$

题解思路

如果话费t时间可以刚好完成，那么花费比t多的时间一定可以完成，比t少的时间一定不能完成
所以结果具有二段性

二分的判断是:
每个机器人优先处理他左边的，如果还有时间就处理他右边的
如果向右边处理，找到他右边的机器人，那么他右边的机器人一开始就向右处理一定更优
我们定义一个int变量vis记录下一个机器人想左处理到vis+1就行
要是还有时间，向右处理，也就是更新vis，要么没时间，要么找到下一个机器人，下一个继续处理一定更优
vis=min(a[i]+(l-(a[i]-vis-1)),a[i+1]-1); //l是时间的一半，也是能单向走的路程-1，因为往返
如果这个机器人处理不到vis+1，返回flase

时间复杂度 $O(NlogN)$

C++ 代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 1e5+10;

int n,m;
int a[N];

int judge(int x){
    int l=x>>1;
    int vis=0;
    for(int i=0;i<m;i++){
        if(a[i]-l>vis+1) return 0;
        if(i<m-1)
            vis=min(a[i]+(l-(a[i]-vis-1)),a[i+1]-1);
        else
            if(l+1<n-vis) return 0;
    }
    return 1;
}

int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=0;i<m;i++) cin>>a[i];
    sort(a,a+m);
    int l=0,r=2*n;
    while(l<r){
        int mid=(l+r)/2;
        if(judge(mid)) r=mid;
        else l=mid+1;
    }
    cout<<l;
    return 0;
}