题目描述

在 LeetCode 商店中，有 n 件在售的物品。每件物品都有对应的价格。然而，也有一些大礼包，每个大礼包以优惠的价格捆绑销售一组物品。

给你一个整数数组 price 表示物品价格，其中 price[i] 是第 i 件物品的价格。另有一个整数数组 needs 表示购物清单，其中 needs[i] 是需要购买第 i 件物品的数量。

还有一个数组 special 表示大礼包，special[i] 的长度为 n + 1，其中 special[i][j] 表示第 i 个大礼包中内含第 j 件物品的数量，且 special[i][n] （也就是数组中的最后一个整数）为第 i 个大礼包的价格。

返回 确切 满足购物清单所需花费的最低价格，你可以充分利用大礼包的优惠活动。你不能购买超出购物清单指定数量的物品，即使那样会降低整体价格。任意大礼包可无限次购买。

样例

输入：price = [2,5], special = [[3,0,5],[1,2,10]], needs = [3,2]
输出：14
解释：有 A 和 B 两种物品，价格分别为 ¥2 和 ¥5。
大礼包 1 ，你可以以 ¥5 的价格购买 3A 和 0B。
大礼包 2 ，你可以以 ¥10 的价格购买 1A 和 2B。
需要购买 3 个 A 和 2 个 B， 所以付 ¥10 购买 1A 和 2B（大礼包 2），以及 ¥4 购买 2A。

输入：price = [2,3,4], special = [[1,1,0,4],[2,2,1,9]], needs = [1,2,1]
输出：11
解释：A ，B ，C 的价格分别为 ¥2 ，¥3 ，¥4。
可以用 ¥4 购买 1A 和 1B ，也可以用 ¥9 购买 2A ，2B 和 1C。
需要买 1A ，2B 和 1C ，所以付 ¥4 买 1A 和 1B（大礼包 1），以及 ¥3 购买 1B， ¥4 购买 1C。
不可以购买超出待购清单的物品，尽管购买大礼包 2 更加便宜。

限制

• n == price.length
• n == needs.length
• 1 <= n <= 6
• 0 <= price[i] <= 10
• 0 <= needs[i] <= 10
• 1 <= special.length <= 100
• special[i].length == n + 1
• 0 <= special[i][j] <= 50

算法

(动态规划) $O(c^n \cdot nm)$

1. 类似于完全背包问题，设计状态 $f(i_0, i_1, i_2, i_3, i_4, i_5)$ 表示购买了 $i_0$ 个 A，$i_1$ 个 B，……，$i_5$ 个 F 的最少花费。
2. 初始状态 $f(0,0,0,0,0,0) = 0$，其余为正无穷。
3. 转移时，可以每次单独买一个。例如单独买一个 A，则 $f(i_0, i_1, i_2, i_3, i_4, i_5) = min(f(i_0, i_1, i_2, i_3, i_4, i_5), f(i_0 - 1, i_1, i_2, i_3, i_4, i_5) + price_0)$；也可以从大礼包转移，转移类似。
4. 最终 $f(needs_0, needs_1, needs_2, needs_3, needs_4, needs_5)$ 为答案。

时间复杂度

• 状态数为 $O(c^n)$，其中 $c$ 为物品所需要的个数。单独购买的转移需要 $O(n)$，大礼包转移需要 $O(nm)$，故总时间复杂度为 $O(c^n \cdot nm)$。

空间复杂度

• 需要 $O(c^n)$ 的空间存储状态。

实现细节

• 为了防止数组维数过大，需要在实现时对状态进行压缩。共计有 $\prod_{i=0}^{n-1}{(needs_i + 1)}$ 种状态，根据排列组合做一一映射即可。

C++ 代码

const int N = 1771561;
const int INF = 1000000000;

#define min(x, y) ((x) < (y) ? (x) : (y))

class Solution {
private:
    int f[N];

public:
    int shoppingOffers(vector<int>& price, vector<vector<int>>& special,
        vector<int>& needs) {

        const int n = needs.size();

        vector<int> mul(n + 1);
        mul[0] = 1;
        for (int i = 0; i < n; i++)
            mul[i + 1] = mul[i] * (needs[i] + 1);

        f[0] = 0;
        for (int s = 1; s < mul[n]; s++) {
            f[s] = INF;
            vector<int> c(n);
            for (int i = 0; i < n; i++)
                c[i] = s % mul[i + 1] / mul[i];

            for (int i = 0; i < n; i++)
                if (c[i] > 0)
                    f[s] = min(f[s], f[s - mul[i]] + price[i]);

            for (const auto &offer : special) {
                int t = s;
                for (int i = 0; i < n; i++)
                    if (c[i] >= offer[i]) {
                        t -= offer[i] * mul[i];
                    } else {
                        t = -1;
                        break;
                    }

                if (t != -1)
                    f[s] = min(f[s], f[t] + offer[n]);
            }
        }

        return f[mul[n] - 1];
    }
};