题目描述

给定一个由整数数组 A 表示的环形数组 C，求 C 的非空子数组的最大可能和。

在此处，环形数组意味着数组的末端将会与开头相连呈环状。（形式上，当 0 <= i < A.length 时 C[i] = A[i]，而当 i >= 0 时 C[i+A.length] = C[i]）

此外，子数组最多只能包含固定缓冲区 A 中的每个元素一次。（形式上，对于子数组 C[i], C[i+1], ..., C[j]，不存在 i <= k1, k2 <= j 其中 k1 % A.length = k2 % A.length）

样例

输入：[1,-2,3,-2]
输出：3
解释：从子数组 [3] 得到最大和 3

输入：[5,-3,5]
输出：10
解释：从子数组 [5,5] 得到最大和 5 + 5 = 10

输入：[3,-1,2,-1]
输出：4
解释：从子数组 [2,-1,3] 得到最大和 2 + (-1) + 3 = 4

输入：[3,-2,2,-3]
输出：3
解释：从子数组 [3] 和 [3,-2,2] 都可以得到最大和 3

输入：[-2,-3,-1]
输出：-1
解释：从子数组 [-1] 得到最大和 -1

限制

• -30000 <= A[i] <= 30000
• 1 <= A.length <= 30000

算法

(前缀和，单调队列) $O(n)$

1. 将原数组扩充一倍后，这道题可以视为长度最多为 $n$ 最长连续子序列。先对求前缀和数组 sum。
2. 对于以 $i$ 结尾的子数组，其最优答案是 $sum[i] - min(sum[j]), i-n \le j < i$。在所有以 $i$ 结尾的子数组中找到最大值即为答案。
3. 以上公式可以用单调队列来快速求解。维护一个单调递增的队列，队头元素为最小值，每次循环时首先将不满足长度的队头出队，然后更新当前的答案。
4. 入队时，检查队尾元素与当前 $sum[i]$ 值的大小，如果 $sum[i]$ 小于等于队尾元素，则队尾元素出队。最后 $sum[i]$ 进队。

时间复杂度

• 每个元素最多进队一次，出队一次，故总时间复杂度为 $O(n)$。

C++ 代码

class Solution {
public:
    int maxSubarraySumCircular(vector<int>& A) {
        int n = A.size(), ans = A[0];

        vector<int> sum(2 * n + 1, 0);
        for (int i = 1; i <= 2 * n; i++) {
            if (i <= n)
                sum[i] = sum[i - 1] + A[i - 1];
            else
                sum[i] = sum[i - 1] + A[i - n - 1];
        }

        deque<int> q;
        q.push_back(0);

        for (int i = 1; i <= 2 * n; i++) {
            while (!q.empty() && i - q.front() > n)
                q.pop_front();

            ans = max(ans, sum[i] - sum[q.front()]);

            while (!q.empty() && sum[i] <= sum[q.back()])
                q.pop_back();

            q.push_back(i);
        }

        return ans;
    }
};