题目描述

熊大妈的奶牛在小沐沐的熏陶下开始研究信息题目。

小沐沐先让奶牛研究了最长上升子序列，再让他们研究了最长公共子序列，现在又让他们研究最长公共上升子序列了。

小沐沐说，对于两个数列A和B，如果它们都包含一段位置不一定连续的数，且数值是严格递增的，那么称这一段数是两个数列的公共上升子序列，而所有的公共上升子序列中最长的就是最长公共上升子序列了。

奶牛半懂不懂，小沐沐要你来告诉奶牛什么是最长公共上升子序列。

不过，只要告诉奶牛它的长度就可以了。

数列A和B的长度均不超过3000。

输入格式
第一行包含一个整数N，表示数列A，B的长度。

第二行包含N个整数，表示数列A。

第三行包含N个整数，表示数列B。

输出格式
输出一个整数，表示最长公共子序列的长度。

数据范围
1≤N≤3000,序列中的数字均不超过231−1
输入样例：
4
2 2 1 3
2 1 2 3
输出样例：
2

算法

(DP,线性DP,前缀和) O(n2)O(n2)
这道题目是AcWing 895. 最长上升子序列和AcWing 897. 最长公共子序列的结合版，在状态表示和状态计算上都是融合了这两道题目的方法。

状态表示：

f[i][j]代表所有a[1 ~ i]和b[i ~ j]中以b[j]结尾的公共上升子序列的集合；
f[i][j]的值等于该集合的子序列中长度的最大值；
状态计算（对应集合划分）：

首先依据公共子序列中是否包含a[i]，将f[i][j]所代表的集合划分成两个不重不漏的子集：

不包含a[i]的子集，最大值是f[i - 1[[j]；
包含a[i]的子集，将这个子集继续划分，依据是子序列的倒数第二个元素在b[]中是哪个数：
子序列只包含b[j]一个数，长度是1；
子序列的倒数第二个数是b[1]的集合，最大长度是f[i - 1][1] + 1；
…
子序列的倒数第二个数是b[j - 1]的集合，最大长度是f[i - 1][j - 1] + 1；
如果直接按上述思路实现，需要三重循环：

for (int i = 1; i <= n; i ++ )
{
    for (int j = 1; j <= n; j ++ )
    {
        f[i][j] = f[i - 1][j];
        if (a[i] == b[j])
        {
            int maxv = 1;
            for (int k = 1; k < j; k ++ )
                if (a[i] > b[k])
                    maxv = max(maxv, f[i - 1][k] + 1);
            f[i][j] = max(f[i][j], maxv);
        }
    }
}

然后我们发现每次循环求得的maxv是满足a[i] > b[k]的f[i - 1][k] + 1的前缀最大值。
因此可以直接将maxv提到第一层循环外面，减少重复计算，此时只剩下两重循环。

最终答案枚举子序列结尾取最大值即可。

时间复杂度

代码中一共两重循环，因此时间复杂度是 O(n2)O(n2)

java 代码

import java.util.Scanner;
public class Main{

    public static void main(String[] agrs){
        Scanner sc=new Scanner(System.in);
        int[] str1=new int[3005];
        int[] str2=new int[3005];
        int n=sc.nextInt();
        for(int i=1;i<=n;i++){
            str1[i]=sc.nextInt();
        }
        for(int i=1;i<=n;i++){
            str2[i]=sc.nextInt();
        }

        int[][] dp1=new int[3005][3005];

        for(int i=1;i<=n;i++){
            int maxv=1;
            for(int j=1;j<=n;j++){

                dp1[i][j]=dp1[i-1][j];   
                if(str1[i]==str2[j]){
                    dp1[i][j]=Math.max(maxv,dp1[i][j]);
                }
                if(str1[i]>str2[j]){
                    maxv=Math.max(maxv,dp1[i-1][j]+1);
                }
            }
        }

        int res=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            res=Math.max(dp1[n][i],res);
        }
        System.out.println(res);
    }
}