题目描述
给定一张 n 个点的带权无向图,点从 0~n-1 标号,求起点 0 到终点 n-1 的最短Hamilton路径。 Hamilton路径的定义是从 0 到 n-1 不重不漏地经过每个点恰好一次。
输入格式
第一行输入整数n。
接下来n行每行n个整数,其中第i行第j个整数表示点i到j的距离(记为a[i,j])。
对于任意的x,y,z,数据保证 a[x,x]=0,a[x,y]=a[y,x] 并且 a[x,y]+a[y,z]>=a[x,z]。
输出格式
输出一个整数,表示最短Hamilton路径的长度。
数据范围
1≤n≤20
0≤a[i,j]≤10^7
样例
5
0 2 4 5 1
2 0 6 5 3
4 6 0 8 3
5 5 8 0 5
1 3 3 5 0
输出18
状态压缩+dp
时间复杂度
状态数 (1<<n)*n=2^20*20=2*10^7
转移数 20
O(4*10^8)
如果使用暴力的深搜的话,时间复杂度为20!。
使用dp,f[i][j],i代表我已经选择了哪些点,j代表我目前选择哪个点。其实这和深搜的顺序是一样的。
那么转移的时候
f[i][j]=min(f[i][j],f[i-(1<<j)][k]+w[k][j]),意思是我当前选择的所有点可以从之前没有选择当前点的状态进行转移
时间复杂度
参考文献
C++ 代码
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=20,M=1<<N;
int f[M][N],w[N][N];
int n;
int main()
{
cin>>n;
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<n;j++)
cin>>w[i][j];
memset(f,0x3f,sizeof f);
f[1][0]=0;
for(int i=0;i<1<<n;i++)
for(int j=0;j<n;j++)
if(i>>j&1)//当前点要包含j这个点,后面的状态转移才有意义
for(int k=0;k<n;k++)//状态转移
if(i-(1<<j)>>k&1)//从减去j这个点的状态进行转移,同时这个状态要包含k这点
f[i][j]=min(f[i][j],f[i-(1<<j)][k]+w[k][j]);
cout<<f[(1<<n)-1][n-1]<<endl;
return 0;
}