题目描述

四平方和定理，又称为拉格朗日定理：

每个正整数都可以表示为至多 4

个正整数的平方和。

如果把 0
包括进去，就正好可以表示为 4

个数的平方和。

比如：

5=0^2+0^2+1^2+2^2

7=1^2+1^2+1^2+2^2

对于一个给定的正整数，可能存在多种平方和的表示法。

要求你对 4

个数排序：

0≤a≤b≤c≤d

并对所有的可能表示法按 a,b,c,d

为联合主键升序排列，最后输出第一个表示法。
输入格式

输入一个正整数 N

。
输出格式

输出4个非负整数，按从小到大排序，中间用空格分开。
数据范围

0<N<5∗10^6

样例

输入样例：

5

输出样例：

0 0 1 2

算法1

(暴力枚举) $O(n^3)$

思路比较简单，就是一个简单的循环遍历

三重循环

C++ 代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()  
{  
    int n,a,b,c,d;  
    scanf("%d",&n);   
    int sqn = int(sqrt(n));
    for(a=0;a<=sqn;++a)  
    {  
        for(b=a;b<=sqn;++b)  
        {  
            for(c=b;c<=sqn;++c)  
            {  
                d=sqrt(n-a*a-b*b-c*c); //这里可以有效地减少一重循环 
                if(n==a*a+b*b+c*c+d*d)  
                {  
                    if(c>d)swap(d,c);
                    printf("%d %d %d %d\n",a,b,c,d);  
                    return 0;  
                }   
            }   
        }   
    }   
}

由于Java的jvm时间比c++的时间多一倍，所以我们可以循环遍历！

Java 代码

import java.util.Scanner;

public class Main {

    public static void main(String[] args) {

        Scanner sc=new Scanner(System.in);

        int n=sc.nextInt();

        for(int a=0;a<=Math.sqrt(n);a++){

            for(int b=a;b<=Math.sqrt(n);b++){

                for(int c=b;c<=Math.sqrt(n);c++){

                    for(int d=c;d<=Math.sqrt(n);d++){

                        if((a*a+b*b+c*c+d*d)==n){

                            System.out.println(a+" "+b+" "+c+" "+d);

                            return;
                        }
                    }
                }
            }
        }
    }
}

四平方和问题优化：
思路：
减少枚举变量
确定枚举范围：
a 0–sqrt(510^6/4)
b 0–sqrt(510^6/3)
c 0–sqrt(510^6/2)
d 0–sqrt(510^6)
预先求出R=c^2+d^2的解 用unordered_map来保存一个R对应的c。也就是构建哈希表

优化枚举

(哈希+枚举) $O(n^2)$

有效减少了枚举，当然还有一种思路就是用二进制去解决它，时间复杂度可以优化到O(nlogn)

C++ 代码

#include <iostream>
#include <unordered_map>
#include <cmath>
using namespace std;
int n;
unordered_map <int, int> f;
int main()
{
    cin >> n;
    for (int c = 0; c*c <= n / 2;c++)
    {
        for (int d = c; c*c + d*d <= n;d++)
        {
            //如果没有找到，将数据保存
            if (f.find(c*c+d*d)==f.end())
            {

                f[c*c + d*d] = c;
            }
        }
    }
    for (int a = 0; a*a * 4 <= n;a++)
    {
        for (int b = a; a*a + b*b <= n / 2;b++)
        {
            if (f.find(n - a*a - b*b) != f.end())
            {
                int c = f[n - a*a - b*b];
                int d = int(sqrt(n - a*a - b*b - c*c)*1.0);
                cout << a << " " << b << " " << c << " " << d << endl;
                return 0;
            }
        }
    }

    return 0;
}