题目描述
有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。
第 i 件物品的体积是 vi,价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包,可使这些物品的总体积不超过背包容量,且总价值最大。
输出 字典序最小的方案。这里的字典序是指:所选物品的编号所构成的序列。物品的编号范围是 1…N。
输入格式
第一行两个整数,N,V,用空格隔开,分别表示物品数量和背包容积。
接下来有 N 行,每行两个整数 vi,wi,用空格隔开,分别表示第 i 件物品的体积和价值。
输出格式
输出一行,包含若干个用空格隔开的整数,表示最优解中所选物品的编号序列,且该编号序列的字典序最小。
物品编号范围是 1…N。
数据范围
0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000
输入样例:
4 5
1 2
2 4
3 4
4 6
输出样例:
1 4
算法1
(DP路径倒推)
时间复杂度: $O(n*m)$
参考文献:算法提高课
Java 代码
import java.io.*;
public class Main{
static int N = 1010;
static int[][] f = new int[N][N];
static int[] v = new int[N];
static int[] w = new int[N];
public static void main(String[] args) throws IOException {
BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
int n,m;
String[] str = br.readLine().split(" ");
n = Integer.parseInt(str[0]);
m = Integer.parseInt(str[1]);
for (int i = 1;i <= n;i ++){
str = br.readLine().split(" ");
v[i] = Integer.parseInt(str[0]);
w[i] = Integer.parseInt(str[1]);
}
br.close();
for (int i = n;i >= 1;i --){
for (int j = 0;j <= m;j ++){
f[i][j] = f[i+1][j];
if (j >= v[i]) f[i][j] = Math.max(f[i][j],f[i+1][j-v[i]] + w[i]);
}
}
int j = m;// 从终点f[i][m]开始倒推出最短路径
for (int i = 1;i <= n;i ++){// 满足相应条件就选择第i个物品
if (j >= v[i] && f[i][j] == f[i+1][j-v[i]] + w[i]){
System.out.print(i + " ");// 输出方案
j -= v[i];// 选了物品体积就减小
}
}
}
}
算法2
(g数组记录最优方案)
受这个题解启发: https://www.acwing.com/solution/content/51015/。
时间复杂度: $O(n*m)$
Java 代码
import java.io.*;
public class Main {
static int N = 1010;
static int[][] f = new int[N][N];
static boolean[][] g = new boolean[N][N];
static int[] v = new int[N];
static int[] w = new int[N];
public static void main(String[] args) throws IOException {
BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
int n,m;
String[] str = br.readLine().split(" ");
n = Integer.parseInt(str[0]);
m = Integer.parseInt(str[1]);
for (int i = 1;i <= n;i ++){
str = br.readLine().split(" ");
v[i] = Integer.parseInt(str[0]);
w[i] = Integer.parseInt(str[1]);
}
br.close();
for (int i = n;i >= 1;i --){
for (int j = 0;j <= m;j ++){
f[i][j] = f[i+1][j];
g[i][j] = false; // 没选第i个物品
if (j >= v[i] && f[i][j] <= f[i+1][j-v[i]] + w[i]){
g[i][j] = true; // 选择第i个物品
f[i][j] = f[i+1][j-v[i]] + w[i];
}
}
}
int j = m;
for (int i = 1;i <= n;i ++) { // 正向遍历
if (g[i][j]) {
j -= v[i];
System.out.print(i + " ");
}
}
}
}