题目描述

给定一个非负整数序列 a，初始长度为 N。

有 M 个操作，有以下两种操作类型：

1、”A x”：添加操作，表示在序列末尾添加一个数 x，序列的长度 N 增大1。
2、”Q l r x”：询问操作，你需要找到一个位置 p，满足l≤p≤r，使得：a[p] xor a[p+1] xor … xor a[N] xor x 最大，输出这个最大值。

输入格式
第一行包含两个整数 N，M，含义如问题描述所示。

第二行包含 N 个非负整数，表示初始的序列 A。

接下来 M 行，每行描述一个操作，格式如题面所述。

输出格式
每个询问操作输出一个整数，表示询问的答案。

每个答案占一行。

数据范围
N,M≤3∗105,0≤a[i]≤107。

样例

输入样例：
5 5
2 6 4 3 6
A 1 
Q 3 5 4 
A 4 
Q 5 7 0 
Q 3 6 6 
输出样例：
4
5
6

算法1

(持久化01trie) $O(nlogn)$

问题分析：
令s[i] = a[1] ^ a[2] ^ … a[i-1] ^ a[i]
则a[p] xor a[p+1] xor … xor a[N] xor x 相当于 s[N] ^ x ^ s[p-1]
S[N] ^ x 每次可以看成一个固定值 v提前算出来, 则相当于 求 l-1 <= p-1 <= r-1 使得 v 与 s[p-1]异或最大

做法：
s[p-1]的二进制最高位开始到最低位的每一个数字尽量与v的二进制对应位相反就可以保证异或出来最大。
s的每个版本可以看成是持久化的trie记录下来。
对持久化trie的每个节点额外维护一个信息version，表示其所属的持久化版本，显然一个节点的version等于其子节点中最大的版本号（因为子节点要么是连向之前的版本，要么创建了该节点后再创建子节点）。 如果一个节点的version 小于l-1，说明这个节点是s[l-1]插入之前就已经创建出来的节点，不应该考虑在内。

性质：
对持久化树的某一个版本的根节点开始往下访问，所能访问到的节点的版本不会超过该根节点的版本,所以该题只需要从r-1版本开始访问即可

注意点：
查询时，节点不空才能转移

时间复杂度

参考文献

C++ 代码

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 6e5 + 5;

int n, m, s[N], idx;

int trie[24 * N][2], version[24 * N];
int root[N];

void insert(int i, int p, int q, int k) {
    if (k < 0) {
        version[q] = i;
        return;
    }
    int c = s[i] >> k & 1; //最右侧为第0位，取出第k位
    if (p) trie[q][c ^ 1] = trie[p][c ^ 1];
    trie[q][c] = ++idx;
    insert(i, trie[p][c], trie[q][c], k - 1);
    version[q] = max(version[trie[q][0]], version[trie[q][1]]);
}


int query(int root, int k, int pivot, int limit) {
    int q = root;
    for (int i = k; i >= 0; i--) {
        int c = pivot >> i & 1;
        int b = trie[q][c ^ 1];
        if  (b && version[b] >= limit) q = trie[q][c ^ 1];//节点不空，版本 >= limit才能转移
        else  q = trie[q][c];
    }
    return s[version[q]] ^ pivot;
}


int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cin >> n >> m;
    s[0] = 0;
    version[0] = -1;
    root[0] = ++idx;
    insert(0,0,root[0],23);

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int a;
        cin >> a;
        s[i] = s[i-1] ^ a;
        root[i] = ++idx; //每次为新版本的trie新建根节点
        insert(i, root[i-1], root[i], 23);
    }
    while (m--){
        char op; 
        int l, r, x;
        cin >> op;
        if (op == 'Q') {
            cin >> l >> r >> x;
            printf("%d\n", query(root[r-1], 23, s[n] ^ x, l-1));
        } else {
            cin >> x;
            root[++n] = ++idx;
            s[n] = s[n-1] ^ x;
            insert(n, root[n-1], root[n], 23);
        }
    }
    return 0;
}