题目描述

给你一个字符串 s，每一次操作你都可以在字符串的任意位置插入任意字符。

请你返回让 s 成为回文串的 最少操作次数。

回文串 是正读和反读都相同的字符串。

样例

输入：s = "zzazz"
输出：0
解释：字符串 "zzazz" 已经是回文串了，所以不需要做任何插入操作。

输入：s = "mbadm"
输出：2
解释：字符串可变为 "mbdadbm" 或者 "mdbabdm"。

输入：s = "leetcode"
输出：5
解释：插入 5 个字符后字符串变为 "leetcodocteel"。

输入：s = "g"
输出：0

输入：s = "no"
输出：1

限制

• 1 <= s.length <= 500
• s 中所有字符都是小写字母。

算法

(动态规划) $O(n^2)$

1. 设状态 $f(i, j)$ 表示将区间 [i, j] 变为回文串的最少操作次数。
2. 初始时，$f(i, i) = 0$。如果 s[i] == s[i + 1]，则 $f(i, i + 1) = 0$；否则 $f(i, i + 1) = 1$。
3. 转移时，先枚举长度，然后处理这个长度下的所有状态。对于区间 $[i, j]$，如果 s[i] == s[j]，则 $f(i, j) = f(i + 1, j - 1)$；否则 $f(i, j) = \min(f(i + 1, j), f(i, j - 1)) + 1$，即需要匹配第一个字符或者最后一个字符。
4. 最终答案为 $f(0, n - 1)$。

时间复杂度

• 状态数共有 $O(n^2)$，每次转移仅需要常数时间，故总时间复杂度为 $O(n^2)$。

空间复杂度

• 需要额外 $O(n^2)$ 的空间存储状态。

C++ 代码

class Solution {
public:
    int minInsertions(string s) {
        int n = s.length();
        vector<vector<int>> f(n, vector<int>(n));

        for (int i = 0; i < n; i++)
            f[i][i] = 0;

        for (int i = 0; i < n - 1; i++)
            f[i][i + 1] = (int)(!(s[i] == s[i + 1]));

        for (int len = 3; len <= n; len++)
            for (int i = 0; i < n - len + 1; i++) {
                int j = i + len - 1;
                if (s[i] == s[j])
                    f[i][j] = f[i + 1][j - 1];
                else
                    f[i][j] = min(f[i + 1][j], f[i][j - 1]) + 1;
            }

        return f[0][n - 1];
    }
};