题目描述

给你一个 m * n 的矩阵 mat 和一个整数 K，请你返回一个矩阵 answer，其中每个 answer[i][j] 是所有满足下述条件的元素 mat[r][c] 的和：i - K <= r <= i + K, j - K <= c <= j + K
且 (r, c) 在矩阵内。

样例

输入：mat = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]], K = 1
输出：[[12,21,16],[27,45,33],[24,39,28]]

输入：mat = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]], K = 2
输出：[[45,45,45],[45,45,45],[45,45,45]]

限制

• m == mat.length
• n == mat[i].length
• 1 <= m, n, K <= 100
• 1 <= mat[i][j] <= 100

算法

(矩阵前缀和) $O(mn)$

1. 在原数组的基础上，求出前缀和矩阵。递推的一般形式为：sum[i][j] = sum[i - 1][j] + sum[i][j - 1] - sum[i - 1][j - 1] + mat[i][j]。其中注意特殊处理边界。
2. 求子矩阵和的时候，可以直接利用前缀和矩阵，设矩阵的左上角和右下角分别为 (x1, y1) 以及 (x2, y2)，则 res = sum[x2][y2] - sum[x2][y1 - 1] - sum[x1 - 1][y2] + sum[x1 - 1][y1 - 1]。注意特殊处理 x1 和 y1 为 0 的边界情况。
3. 对应到此题，就可以轻松的利用上述公式，来求解每给点的答案。

时间复杂度

• 预处理前缀和矩阵的时间复杂度为 $O(mn)$，求解每个位置的答案时间为常数，故总时间复杂度为 $O(mn)$。

空间复杂度

• 需要额外 $O(mn)$ 的空间存储答案。

C++ 代码

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> matrixBlockSum(vector<vector<int>>& mat, int K) {
        int m = mat.size(), n = mat[0].size();
        for (int i = 1; i < m; i++)
            mat[i][0] += mat[i - 1][0];

        for (int j = 1; j < n; j++)
            mat[0][j] += mat[0][j - 1];

        for (int i = 1; i < m; i++)
            for (int j = 1; j < n; j++)
                mat[i][j] += mat[i - 1][j] + mat[i][j - 1] - mat[i - 1][j - 1];

        vector<vector<int>> ans(m, vector<int>(n));

        for (int i = 0; i < m; i++)
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                int x = min(m - 1, i + K);
                int y = min(n - 1, j + K);

                ans[i][j] = mat[x][y];
                if (i - K - 1 >= 0)
                    ans[i][j] -= mat[i - K - 1][y];

                if (j - K - 1 >= 0)
                    ans[i][j] -= mat[x][j - K - 1];

                if (i - K - 1 >= 0 && j - K - 1 >= 0)
                    ans[i][j] += mat[i - K - 1][j - K - 1];
            }

        return ans;
    }
};