题目描述

你一定玩过八数码游戏，它实际上是在一个3×3的网格中进行的,1个空格和1~8这8个数字恰好不重不漏地分布在这3×3的网格中。

例如：

5 2 8
1 3 _
4 6 7

在游戏过程中，可以把空格与其上、下、左、右四个方向之一的数字交换（如果存在）。

例如在上例中，空格可与左、上、下面的数字交换，分别变成：

5 2 8       5 2 _      5 2 8
1 _ 3       1 3 8      1 3 7
4 6 7       4 6 7      4 6 _

奇数码游戏是它的一个扩展，在一个$n×n$的网格中进行，其中n为奇数，1个空格和$1~n^2−1$这$n^2−1$个数恰好不重不漏地分布在$n×n$的网格中。

空格移动的规则与八数码游戏相同，实际上，八数码就是一个n=3的奇数码游戏。

现在给定两个奇数码游戏的局面，请判断是否存在一种移动空格的方式，使得其中一个局面可以变化到另一个局面。

输入格式
多组数据，对于每组数据：

第1行输入一个整数n，n为奇数。

接下来n行每行n个整数，表示第一个局面。

再接下来n行每行n个整数，表示第二个局面。

局面中每个整数都是$0…n^2−1$之一，其中用0代表空格，其余数值与奇数码游戏中的意义相同，保证这些整数的分布不重不漏。

输出格式
对于每组数据，若两个局面可达，输出TAK，否则输出NIE。

数据范围
$1≤n<500$

样例

输入样例：
3
1 2 3
0 4 6
7 5 8
1 2 3
4 5 6
7 8 0
1
0
0
输出样例：
TAK
TAK

奇偶数性质+逆序对个数(归并排序)

解题思路:首先我们将这个$n^2$的矩阵从二维降低到一维,也就是开一个$n^2$的一维数组,然后抛去0这个空格计算逆序对个数,如果两个矩阵的逆序对个数奇偶性相同的话,就可以输出TAK.

为什么是要计算逆序对个数:因为这道题目中,如果空格与左右交换的话,那么逆序对个数不变,但是如果说上下交换的话,那么肯定会发生偶数次的逆序对交换.比如说下面这个例子

1 2 3   1 2 3
0 4 6   4 5 6
7 5 8   7 8 0
首先看第一个矩阵,我们交换0和7,那么相当于7和前面的n-1个数交换了.因为n是奇数所以逆序对是偶数次变换
再看第二个矩阵,交换8和0,我们发现这一横排其实是并没有什么变换的.逆序对还是那么多个

为什么是奇偶性质:因为两个矩阵,逆序对奇偶性如果不同的话,是肯定不可以变成一样的,这是可以肯定的.

这道题目不要考虑0,切记,因为0是空格,不加入逆序对计算之中,一定要谨慎处理.

感谢大佬 @[yxc的腿部挂件]和早已指出,但是博主木有发现的@Rengar大佬,指出题解的一个大BUG,就是我们逆序对的个数可能会超过int的最大值,数据中有一组的逆序对个数有14580453379个,所以需要使用long long数据类型

C++ 代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=510;
int n,m,a[N*N],b[N*N],c[N*N],i,j,k;
long long cnt;
void merge(int a[],int l,int r)
{
    if (r-l<1)
        return ;
    int mid=(l+r)>>1;
    merge(a,l,mid);
    merge(a,mid+1,r);
    int i=l,j=mid+1;
    for (int k=l; k<=r; k++)
    {
        if (j>r || i<=mid && a[i]<=a[j])
            b[k]=a[i++];
        else
        {
            cnt+=mid-i+1;
            b[k]=a[j++];
        }
    }
    for (int k=l; k<=r; k++)
        a[k]=b[k];
}
signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
//  freopen("stdin.in","r",stdin);
//  freopen("stdout.out","w",stdout);
    while(cin>>n)
    {
        int ok=0,x;
        for (i=1; i<=n*n; i++)
        {
            cin>>x;
            if (x==0)
                ok=1;
            else
                a[i-ok]=x;
        }
        ok=0;
        for (i=1; i<=n*n; i++)
        {
            cin>>x;
            if (x==0)
                ok=1;
            else
                c[i-ok]=x;
        }
        cnt=0;
        memset(b,0,sizeof(b));
        merge(a,1,n*n);
        long long ans=cnt;
        memset(b,0,sizeof(b));
        cnt=0;
        merge(c,1,n*n);
        if ((ans&1)==(cnt&1))
            puts("TAK");
        else
            puts("NIE");
    }
    return 0;
}