题目描述
有 $N$ 种物品和一个容量是 $V$ 的背包,每种物品都有无限件可用。
第 $i$ 种物品的体积是 $v_i$,价值是 $w_i$。
求解将哪些物品装入背包,可使这些物品的总体积不超过背包容量,且总价值最大。
输出最大价值。
输入格式
第一行两个整数,$N,V$,用空格隔开,分别表示物品种数和背包容积。
接下来有 $N$ 行,每行两个整数 $v_i,w_i$,用空格隔开,分别表示第 $i$ 种物品的体积和价值。
输出格式
输出一个整数,表示最大价值。
数据范围
$0<N,V≤1000$
$0<v_i,w_i≤1000$
样例
输入样例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出样例:
10
算法
动态规划
参考文献
时间复杂度
$O(nm^2)$
C++ 代码
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N][N];
int main()
{
cin >> n>>m;
for (int i=1; i<=n; i++) cin>>v[i]>>w[i];
for (int i=1; i<=n; i++)
for (int j=0; j<=m; j++)
for (int k=0; k*v[i] <= j; k++)
f[i][j] = max(f[i][j], f[i-1][j-v[i]*k] + w[i]*k);
cout << f[n][m] <<endl;
return 0;
}
第一次优化
变成二维,时间复杂度 $O(nm)$
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N][N];
int main()
{
cin >> n>>m;
for (int i=1; i<=n; i++) cin>>v[i]>>w[i];
for (int i=1; i<=n; i++)
for (int j=0; j<=m; j++)
{
f[i][j] = f[i-1][j];
if (j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j-v[i]]+w[i]);
}
cout << f[n][m] <<endl;
return 0;
}
第二次优化
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N];
int main()
{
cin >> n>>m;
for (int i=1; i<=n; i++) cin>>v[i]>>w[i];
for (int i=1; i<=n; i++)
for (int j=v[i]; j<=m; j++)
f[j] = max(f[j], f[j-v[i]]+w[i]);
cout << f[m] <<endl;
return 0;
}