title: [做题记录]CH 2101 可达性统计
date: 2019-01-30 09:07:17
categories: 题解
tags: 拓扑排序

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题目描述

给定一张N个点M条边的有向无环图，分别统计从每个点出发能够到达的点的数量。

输入格式

第一行两个整数N,M，接下来M行每行两个整数x,y，表示从x到y的一条有向边。

输出格式

输出共N行，表示每个点能够到达的点的数量。

数据范围

1≤N,M≤30000

输入样例：

10 10
3 8
2 3
2 5
5 9
5 9
2 3
3 9
4 8
2 10
4 9

输出样例：

1
6
3
3
2
1
1
1
1
1

题意分析：

题目已经说明白，给我们的是DAG(有向无环图)。既然是DAG，可以很容易的联想到拓扑排序。题目让我们统计每个点出发能到达的点的数量，我们可以先模拟一下样例，如下图(只例举出1，2，3三个点)。

题解：

综上所述，设从点 x 出发能够到达的点构成的集合是 f(x)，从点 x 出发能够到达的点，是从 x 的各个后继节点 y 出发能够到达的点的并集，再加上点 x 自身 。

f(2) = f(3) ∪ f(5) ∪ f(10) = …

先按照拓扑排序算法求出拓扑序，然后按照拓扑序的倒叙进行计算------因为在拓扑序中，任意一条边 (x , y)，x 都排在 y 之前。

关于状态压缩 bitset容器：

转载：https://oi-wiki.org/ds/stl/bitset/

介绍¶

std :: bitset 是标准库中的一个固定大小序列，其储存的数据只包含 0/1

众所周知，由于内存地址是按字节即 byte 寻址，而非比特 bit ,

我们一个 bool 类型的变量，虽然只能表示 0/1 , 但是也占了 1byte 的内存

bitset 就是通过固定的优化，使得一个字节的八个比特能分别储存 8 位的 0/1

对于一个 4 字节的 int 变量，在只存 0/1 的意义下， bitset 占用空间只是其

在某些情况下通过 bitset 可以使你的复杂度除以 32

当然， vector 的一个特化 vector<bool> 的储存方式同 bitset 一样，区别在于其支持动态开空间，

bitset 则和我们一般的静态数组一样，是在编译时就开好了的。

那么为什么要用 bitset 而非 vector<bool> ?

通过以下的介绍，你可以更加详细的看到 bitset 具备的方便操作

#include <bitset>  // 包含 bitset 的头文件

运算符¶

• operator[] : 访问其特定的一位

• operator ==/！= : 比较两个 bitset 内容是否完全一样

• operator &=/|=/^=/~ : 进行按位与/或/异或/取反操作

• operator <</>>/<<=/>>= : 进行二进制左移/右移

• operator <</>> : 流运算符，这意味着你可以通过 cin/cout 进行输入输出

vector<bool> 只具有前两项

成员函数¶

• test() : 它和 vector 中的 at() 的作用是一样的，和 [] 运算符的区别就是越界检查
• count() : 返回 true 的数量
• set() : 将整个 bitset 设置成 true , 你也可以传入参数使其设置成你的参数
• reset() : 将整个 bitset 设置成 false
• flip() : 翻转该位 (0 变 1,1 变 0), 相当于逻辑非/异或 1
• to_string() : 返回转换成的字符串表达
• to_ulong() : 返回转换成的 unsigned long 表达 ( long 在 NT 及 32 位 POSIX 系统下与 int 一样，在 64 位 POSIX 下与 long long 一样）
• to_ullong() C++11, 返回转换成的 unsigned long long 表达

这些 vector<bool> 基本都没有

作用¶

一般来讲，我们可以用 bitset 优化一些可行性 DP, 或者线筛素数 ( notprime 这种 bool 数组可以用 bitset 开到 之类的）

它最主要的作用还是压掉了内存带来的时间优化， 的常数优化已经可以是复杂度级别的优化了，比如一个 的 算法， 显然很卡，在常数大一点的情况下必然卡不过去，O（松）不能算！, 这时候如果我们某一维除以 32, 则可以比较保险的过了这道题

其实 bitset 不光是一个容器，更是一种思想，我们可以通过手写的方式，来把 long long 什么的压成每 bit 表示一个信息，用 STL 的原因更多是因为它的运算符方便

AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn = 30000 + 5;
int n,m;
int in[maxn];
vector<int> e[maxn];
vector<int> topo;
bitset<maxn> f[maxn];

inline void toposort()
{
    topo.clear();
    queue<int> q;

    for(int i = 1;i <= n;++i)
        if(in[i] == 0) q.push(i);

    while(q.size())
    {
        int u = q.front();
        q.pop();

        topo.push_back(u);

        for(int i = 0;i < e[u].size();++i)
            if(--in[e[u][i]] == 0) q.push(e[u][i]);
    }

}

void init()
{
    cin >> n >> m;
    memset(in,0,sizeof(in));

    for(int i = 1;i <= m;++i)
    {
        int x,y;
        cin >> x >> y;
        in[y]++;
        e[x].push_back(y);
    }
}

void find()
{
    toposort();

    for(int i = topo.size() - 1;i >= 0;i--)
    {
        int x = topo[i];
        f[x].reset(),f[x][x] = 1;
        for(int k = 0;k < e[x].size();++k)
            f[x] |= f[e[x][k]];
    }

    for(int i = 1;i <= n;++i)
        cout << f[i].count() << endl;
}

int main(int argc, char const *argv[])
{
    ios::sync_with_stdio(false);

    init();

    find();

    return 0;
}